Question

这样的函数怎么化简并求最小正周期？

已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）①求最小正周期和函数最小值 ②令g(x)=f(x+π/8)-1,判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由。

Answer 1

用到公式2sinxcosx=sin2x， 2cos²x=cos2x+1
所以f(x)=sin2x+cos2x+1=（根号2）sin(2x+π/4)+1 所以周期为派，最小值为1-(根号2）

g(x)= （根号2）sin(2x+π/4+π/4)+1=（根号2）sin(2x+π/2)+1=（根号2）cos2x +1 余弦函数为偶函数，所以是偶函数

Answer 2

解：
（Ⅰ）f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π/4)+1小正周期是T=2π/2=π
又当2x+π/4=-π/2+2kπ
即x=kπ-3π/8(k∈Z)时，sin(2x+π/4)取得最小值-1，
所以函数f（x）的最小值是1-√2，此时x的集合为{x|x=kπ-3π/8，k∈Z}．

（Ⅱ）g(x)=f(x+π/8)-1=√2sin(2(x+π/8)+π/4)=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x
∵g(-x)=√2cos(-2x)=√2cos2x=g(x)．
∴函数g（x）是偶函数．

Answer 3

将原式化简：f(x)=sin2x+1+cos2x=1+√2sin(2x+π/4)
（1）T=2π/2=π
最小值=1-√2*1=1-√2
（2）g(x)=1+√2sin(2*(x+π/8)+π/4)-1=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x
因此g(x)为偶函数

Answer 4

这类的三角函数题很有规律
首先用降幂公式，也就是二倍角公式倒着用，把他们都化成 2x的三角函数 然后用辅助角公式（也叫化一公式，和角公式等）化成一个三角函数。