
如图所示 在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求异面直线A1B与AC1所成的角是多少
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方法一:
以D为原点,DA、DC、DD1所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,使A、C、D1落在坐标轴的正半轴上。利用赋值法,令正方体的棱长为1。则有:
A(1,0,0)、C1(0,1,1)、A1(1,0,1)、B(1,1,0)。
∴向量AC1=(-1,1,1)、向量A1B=(0,1,-1),
∴向量AC1·向量A1B=0+1-1=0,∴AC1⊥A1B,∴A1B与AC1所成的角为90°。
方法二:
令BC、A1D1的中点分别是E、F。
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴AB=AA1=C1D1=C1C、BE=A1F=D1F=CE、∠ABE=∠AA1F=∠C1D1F=∠C1CE,
∴△ABE≌△AA1F≌△C1D1F≌△C1CE,∴AE=AF=C1F=C1E,∴AEC1F是菱形,
∴FE⊥AC1。
显然有:A1F∥BE,又A1F=BE,∴A1BEF是平行四边形,∴A1B∥FE,而FE⊥AC1,
∴A1B⊥AC1,∴A1B与AC1所成的角为90°。
以D为原点,DA、DC、DD1所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,使A、C、D1落在坐标轴的正半轴上。利用赋值法,令正方体的棱长为1。则有:
A(1,0,0)、C1(0,1,1)、A1(1,0,1)、B(1,1,0)。
∴向量AC1=(-1,1,1)、向量A1B=(0,1,-1),
∴向量AC1·向量A1B=0+1-1=0,∴AC1⊥A1B,∴A1B与AC1所成的角为90°。
方法二:
令BC、A1D1的中点分别是E、F。
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,
∴AB=AA1=C1D1=C1C、BE=A1F=D1F=CE、∠ABE=∠AA1F=∠C1D1F=∠C1CE,
∴△ABE≌△AA1F≌△C1D1F≌△C1CE,∴AE=AF=C1F=C1E,∴AEC1F是菱形,
∴FE⊥AC1。
显然有:A1F∥BE,又A1F=BE,∴A1BEF是平行四边形,∴A1B∥FE,而FE⊥AC1,
∴A1B⊥AC1,∴A1B与AC1所成的角为90°。
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2025-02-09 广告
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