Question

如图所示 在正方体ABCD-A1B1C1D1中 求异面直线A1B与AC1所成的角是多少

Answer 1

方法一：
以D为原点，DA、DC、DD1所在直线依次为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，使A、C、D1落在坐标轴的正半轴上。利用赋值法，令正方体的棱长为1。则有：
A（1，0，0）、C1（0，1，1）、A1（1，0，1）、B（1，1，0）。
∴向量AC1＝（－1，1，1）、向量A1B＝（0，1，－1），
∴向量AC1·向量A1B＝0＋1－1＝0，∴AC1⊥A1B，∴A1B与AC1所成的角为90°。

方法二：
令BC、A1D1的中点分别是E、F。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴AB＝AA1＝C1D1＝C1C、BE＝A1F＝D1F＝CE、∠ABE＝∠AA1F＝∠C1D1F＝∠C1CE，
∴△ABE≌△AA1F≌△C1D1F≌△C1CE，∴AE＝AF＝C1F＝C1E，∴AEC1F是菱形，
∴FE⊥AC1。
显然有：A1F∥BE，又A1F＝BE，∴A1BEF是平行四边形，∴A1B∥FE，而FE⊥AC1，
∴A1B⊥AC1，∴A1B与AC1所成的角为90°。