Question

已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，

垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD= 三分之一a（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．
图自己画一下吧

Answer 1

（1） AE = AD * cos∠DAC
CK = BC * cos∠BCA
因为 AD = BC =a/3 ， ∠DAC = ∠BCA (ABCD为矩形)
所以 AE=CK；

（2） BK 为 三角形 ABC 的 高
三角形 ABC 面积 为 （a*a/3）/ 2 = a²/6
三角形 ABC 面积 又为 （AC*BK）/ 2 = a²/6
AC²= （a/3）² + a²
所以 BK=a / √10 （a除以根号下10）

（3） 因为 DH∥KB 所以 DE ⊥ AC
又因为AD=BC AE=CK（1证明）
所以 BK=DE=6
所以 a= 6√10

因为 O 是 AC 中点 所以三角形BOC 面积 是 三角形 ABC 的 一半
设⊙O的半径=OC=AC/2=AC/2
将 a= 6√10 和 AC²= （a/3）² + a² 带入 r=10

⊙O的半径=10

∠CAD = ∠CDH
cos∠CAD = cos∠CDH
sin∠CAD =DE/AD =3/√10
cos∠CAD = 1/√10
cos∠CDH=DC/DH => DH=60

追问

第三道题解错了

追答

GH = 60 - 12 = 48