Question

如图,Rt△ABC内接于圆O,AC=BC,∠BAC的平分线AD交圆O于D,交

BC于E，延长BD、AC交于F，OG⊥CD于G。若OG·DE=8，求BD的长。

Answer 1

连接OC，OD，∵AB是直径，AC＝BC,AO=BO

∴∠ACD＝∠ADB＝90°，CO⊥AB,∠COB=90°,∠OBC=45°，

∵AD平分∠CAB,∴∠COD=∠DOB=1/2∠COB=45°,CD=BD

∴∠OEB=90°OE⊥CB,∴∠DEB=90°

∵OG⊥CD∴GD=1/2CD=1/2BD,∴∠OGD=∠DEB=90°

又∵∠CBD＝∠GOD＝1／2∠COD

∴⊿OGD∽⊿BED，∴GD／DE＝OG／BD，

即BD＊GD＝OG＊DE，1/2BD*BD=8,BD²=16

∴BD=4

Answer 2

连接OC OD
角CAD=角DAB
角ACB=角ADB=90度
三角形ACE相似三角形ABD
角AOC=90度
角DAB=22.5度
AO=OC 角DOB=45度 OD=OB 角CBD=22.5度
OC=OD OG垂直CD
角COG=角GOD=22.5度
三角形OCG相似三角形ADB相似三角形EBD BD/OG=ED/GD
又不难得出三角形OCD全等三角形ODB CD=DB=2GD
BD=4

Answer 3

如图，连接OD、OC，作DH⊥AB于H，
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴角DOG=1/2角COD，角OGD=90度.
∵角CBD=1/2角COD，角EDB=90度，
∴角DOG=角CBD，角OGD=角EDB，
∴三角形OGD相似于三角形BDE，
∴OG：BD=GD：DE，
∴BD×GD= OG×DE=，
又∵CD=BD，DG=1/2CD，
∴DG=1/2 BD，
∴1/2BD平方=，
∴BD 平方 =，

又∵角BOD=2角BAD=45度，
∴三角形ODH是等腰直角三角形，
∴OH=DH，
设DH=CH=x，则OB=OD=，
BH=，
由勾股定理得DH平方+ BH 平方= BD 平方，
即
整理，得
取正解，得
∴圆O的半径OB=，，面积为6π.