Question

求x平方 e负x次方的不定积分，用分部积分法

Answer 1

计算过程如下：

∫x^2e^(-x)dx

=∫x^2e^(-x)(-1)d(-x)

=-∫x^2de^(-x)

=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)dx^2

=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)2xdx

=-x^2e^(-x)-2∫xde^(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)(-1)d(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2∫de^(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C

=-e^(-x)*(x^2+2x+2) +C

分部积分法的意义：

由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂指三”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。

Answer 2

∫x^2e^(-x)dx的不定积分是-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C。

∫x^2e^(-x)dx

=-∫x^2de^(-x)

=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)dx^2

=-x^2e^(-x)+2∫xe^(-x)dx

=-x^2e^(-x)-2∫xde^(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)dx

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C

所以∫x^2e^(-x)dx的不定积分是-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C。

扩展资料：

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

Answer 3

只要把e^-x放到后面，变成-d(e^-x)。用分部积分算，在利用一次，和上面一样，用两次就能算出来了。如果不是x的平方，而是任意次方，也可以用这个方法算。x^n*e^（-x）是一个特殊的函数，其积分定义为一个特别的函数，是Γ函数。高等数学书上有定义的，积分结果也有。自己查查书吧

Answer 4

Answer 5

∫x^2e^(-x)dx
=∫x^2e^(-x)(-1)d(-x)
=-∫x^2de^(-x)
=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)dx^2
=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)2xdx
=-x^2e^(-x)+2∫e^(-x)x(-1)d(-x)
=-x^2e^(-x)-2∫xde^(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)dx
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)(-1)d(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2∫de^(-x)
=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C
=-e^(-x)*(x^2+2x+2) +C