Question

高一数学难题

学到必修4，问题如下
给出一个数列 n²,(n+1)²，（n+2)²，（n+3)²，。。。，（n+α）²
求出数列前α项的总和的式子，这个不是等差的一般数列似乎，它的之间差值是个变量，求出详细解答

Answer 1

把所有式子展开 每一项都有n方，那么应该是 （α+1）倍的n方
中间相 是0×n+2×n+4×n+。。。+2α×n，把n提出来括号里是一个等差数列，
第三项 是0+1方+2方+3方+。。。+α方 这个有公式
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
最后结果:(n+α)(n+α+1)(2n+2α+1)/6-(n-1)n(2n-1)/6

按照这个公式算就行了
最后嘱咐一句 这个数列一共有α+1项

Answer 2

我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：

（n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
(n+2)^3 - (n+1)^3 = 3*(n+1)^2 + 3*(n+1) + 1
(n+3)^3 -(n+2)^3 = 3*(n+2)^2 + 3*(n+2)+ 1
.........
(n+a+1)^3 - (n+a)^3 = 3.(n+a)^2 + 3*(n+a) + 1
以上相加得（n+a+1)^3-n^3=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3【n+(n+1)+(n+2)+...+(n+a）]+a+1
即3n²（a+1)+3n(a+1)²+(a+1)^3=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3*（2n+a)(a+1)/2+a+1
3n²a+3n²+3na²+6na+3n+a^3+3a^2+3a+1=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3na+3n+3/2a^2+3/2a+a+1
3[n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】=3n²a+3n²+3na+3na²+a^3+3/2a²+a/2
故[n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】=n²a+n²+na+na²+a^3/3+a²/2+a/6

Answer 3

Oa垂直ob故ab为直径oa等于2t的绝对值ob等于t分之四的绝对直故面积s=0.5oaob=4因为om=on所以o在mn垂直平分线上又圆心与的mn中点连线垂直mn所以圆心及mn中点
o点共线所以圆心及点o连线斜律为
0.5得t等于正负2半径为根号5代人即可

Answer 4

这个这样求哈，你的第一项看着是(n+0)²，那么第α项应该是[n+（α-1）]²,你把这平方式展开，你会发现有α个n²对吧，这就是结果的第一部分αn²；第二部分就是0+2*1*n+2*2*n+……+2*（α-1）*n，每项提一个2n出来就剩0+1+2+……+（α-1），这个是等差数列了嘛，这下结果第二项就是2n*（0+α(α-1)/2 ）；第三部分就是0+1²+2²+（α-1）²,这个是自然数平方和的求和公式，不知道你学过没得：sn=n(n+1)(2n+1)/6 ，也就是结果第三部分是α(α+1)(2α+1)/6 ，所以最终结果是αn²+n*α(α-1)+α(α+1)(2α+1)/6。这个题目你主要要弄清楚n是一个常数，不再是项数的意思了，项数其实是α，这样就比较简单了。希望你能看得懂。

Answer 5

方法一：
通项a(i)=(n+i-1)² (i=1,2......a);
s(a)=∑(n+i-1)² ;
一阶导数s'(a)=2∑(n+i-1) =2(n*a + a(a-1)/2) =2n*a+a(a-1);
积分s(a)=a*n² + a(a-1)*n +C

C=∑(i-1)²= a(a-1)(2a-1)/6
所以前a项和s(a)=a*n² + a(a-1)*n + a(a-1)(2a-1)/6 .

方法二：
通项a(i)=(n+i-1)² =n² + 2n(i-1) +(i-1)² ; (i=1,2......a);
s(a)=∑(n+i-1)² =∑[ n² + 2n(i-1) +(i-1)² ] = a*n² + a(a-1)*n + a(a-1)(2a-1)/6
回答完毕。