Question

高一数学难题

求函数y=(3sinx-3)/(2cosx+10)的最值

Answer 1

y=(3sinx-3)/(2cosx+10)
=3/2(sinx-1)/(cosx-(-5))
由于sinx^2+cosx^2=1
所以(sinx-1)/(cosx-(-5))
可看成圆x^2+y^2=1上的点与(-5,1)连线的斜率
显然设连线为y-1=k(x+5)
然后才用d-r法算出k的最值（相切时取到）
然后再求出3/2k就是所求

或则另一种

y=(3sinx-3)/(2cosx+10)
2ycosx+1oy=3sinx-3
3sinx-2ycosx=10y+3
根据三角函数的有界性
-根号（4y^2+9)<=3sinx-2ycosx<=根号（4y^2+9)
所以-根号（4y^2+9）<10y+3<=根号（4y^2+9）
所以(10y+3)^2<=4y^2+9
100y^2+60y+9<=4y^2+9
96y^2+60y<=0
8y^2+5y<=0
所以-5/8=<y<=0
所以y的最值为-5/8和0

Answer 2

设t=tan(x/2)
y=(3sinx-3)/(2cosx+10)
=-3(1-sinx)/2(cosx+5)
=-3[sin(x/2)-cos(x/2)]^2/2[2(cos(x/2))^2-1+5]
=-3[sin(x/2)-cos(x/2)]^2/4[(cos(x/2))^2+2]
=-3[sin(x/2)-cos(x/2)]^2/4[(3cos(x/2))^2+2(sin(x/2))^2]
=(-3/4)*(t-1)^2/(2t^2+3)
就是得到:y=(-3/4)*(t-1)^2/(2t^2+3)
再化为方程:
(8y+3)t^2-6t+(3+12y)=0
那么就要有判断式:
6^2-4(8y+3)(3+12y)≥0
也就是:
36-12(8y+3)(1+4y)=36-12(8y+32y^2+3+12y)
=-12(32y^2+20y)
=-12*4y(8y+5)≥0
就得到:-5/8≤y≤0
也就是,,最大值是0;;最小值是-5/8

Answer 3

f（x）=(x4+x3+x2-x+1)/(x4+x2+1)

=1+(x3-x)/(x4+x2+1)
注意到后面是个奇函数
因此最大值和最小值之和是0
因此M+m=2