Question

高中数学集合超难题

设S为附属集C的非空子集，若对任意x,y属于S都有x+y,x-y,xy属于S，则称S为封闭集，下列命题：
1.集合S=|a+bi|(a,b为整数，i为虚数单位)为封闭集;
2.若S为封闭集，则一定有0属于S;
3.封闭集一定是无限集；
4.若S为封闭集，则满足S含于T含于C的任意集合也是封闭集.
其中真命题的是:
麻烦写下过程,Thanks
真的很难想，我才高一,有些定义不知道，如复数集和虚数单位不懂什么意思，没学过额,5555555555555555555555555555555555555555555

Answer 1

1、S=[0,正无穷），显然不成立，x=0,y=1, x-y=-1 <0
2、肯定，取x=y是S中元素，则x-y=0属于S
3、不一定，例如：S={0}
4、不行，例如S={0}, T={0, 1}, 显然对于T 中0和1
0-1=-1不属于T，但是S包含于T
故2是真命题

追问

不懂额

追答

复数集和虚数单位是高二内容，像x^2+1=0这样的方程是无解的，那有的有解，有的无解，我们无法对所有的一元n次方程有解无解用一个定理的形式给出解释，所以有人从另一个角度，就是定义新的数 i 满足：i^2+1=0, 即 i^2=-1
这时 i 与我们通常的数字还是有很大差别的，这个 i 就叫虚数单位，故由于i^2=-1, 可知两边开根号 i=正负(-1) ,这样所有的一元n次方程都可解了，定义复数z=a+bi,就是这种形式，他只是从形式上定义的，其中a, b都是实数，复数是不能比较大小的，要想比较的话，只能是比较它的模：|a+bi|=根下（a^2+b^2),
不懂的话，再找课本看看吧，到高二下学期才学呢！
上边问题中 1、集合S=|a+bi|(a,b为整数，i为虚数单位)为封闭集，S是所有复数的模的集合，取模相当于取数的绝对值，是个非负数，故S=[0,正无穷），
封闭集：只要在S中任意取出两个数,x, y, 只要x+y,x-y,xy，即这两个数的和差积还是在S中就行了，当然，数值可以变化

Answer 2

先解释一下有关复数的概念：
1、虚数单位：i，i = √(-1)，即：i² = -1；
　　i 其实就是一个数的符号，就像π、e一样，只不过 i 不属于R，而是属于C。对 i 可以像使用任何其他数一样来使用，可以进行数的任何运算。
2、复数：所有复数都具有这样的形式：z = a + b * i，a、b ∈ R。
3、复数的模：|z| = |a + b * i| = √(a² + b²)，显然，|z| ∈ 非负实数集。

解题：
1、设 z ∈ S，则 z = |a + bi| = √(a² + b²)，其中 a、b ∈ Z
显然，0 ∈ S、1 ∈ S
但是，0 - 1 = -1 不属于S，
故，S 不是封闭集，命题1 为假。

2、设 S 为封闭集，因为 S 非空，所以至少有一个元素属于S，设 z ∈ S。
则根据封闭集定义，z - z = 0 必属于 S。
所以，命题2 为真。

3、设 S = { 0 }。
∵ 0 + 0 = 0 - 0 = 0 * 0 = 0 ∈ S
∴ S 为封闭集。
而S为有限集，所以命题3 为假。

4、设 S = { 0 }，T = { 0，1 }，显然 S 为封闭集且 S 包含于 T 包含于 C
∵ 0 - 1 = -1 不属于 T
∴ T 不是封闭集
所以，命题4 为假。

Answer 3

1. 不是。两个虚数的模的差不一定大于0，所以它们的差不一定属于S。
2. 不是。如果S是非0的实数，S是封闭集，但没有0。
3和4看起来是真命题。证明还没有想到。