Question

在梯形ABCD中,AD平行于BC,E为BC的中点,BC等于2AD,EA=ED=2，AC与ED相交于点F

(1)试说明：梯形ABCD是等腰梯形
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形，

Answer 1

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB=ED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=根号3，
∴S菱形AECD=EC•AG=2×根号3=2根号3

Answer 2

解：（1）∵EA=ED∴∠EDA=∠EAD
∵AD∥BC∴∠AEB=∠EAD，∠DEC=∠EDA∴∠AEB=∠DEC
∵BE=CE∴△AEB≌△DEC∴AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形。
（2）AB⊥AC。
∵BC=2AD，BC=2BE=2CE∴AD=BE=CE
∵AD∥BC∴四边形AECD是平行四边形。
∵AC⊥AB∴∠BAC=90°
∴AE=BE=CE=AD
∴平行四边形AECD是菱形。

Answer 3

(1) AD\\BC
角ADE=角DEC
角DAE=角AEB
又EA=ED
所以 角DAE=角ADE
所以 角AEB=DEC
EA=ED
BE=EC
所以 三角形AEB与三角形DEC全等
所以 AB=CD
所以是梯形

（2）
AB与AC垂直时，AECD是菱形

Answer 4

（1）∵E为BC中点，BC＝2AD
∴有AD//BE及AD=BE
∴四边形ABCD为平行四边形
∴AB＝CD.同理，AE＝DC
又∵AE＝DE
∴AB＝DC
∴梯形ABCD为等腰梯形
（2）AB垂直AC.
易知AD=AE＝EC＝2时，平行四边形ADCE为菱形，可求得AC=2√3，再AB⊥AC
现证
∵AB⊥AC ,E为BC中点
∴AE=EC=2
∴平行四边形AECD为菱形

Answer 5

1
可证BED AEC全等三角形（边角边）
得AC=BD
证ABD ADC全等
得AB=CD
得证
2.AB垂直于AC
证明：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
即AE=BE=EC
ADCE易证为平行四边形
所以，四边形AECD是菱形