数学分析习题
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2、e=lim(x->﹢∞)(1+1/x)^x=>
原式=lim(x->+∞)[(x^3-x^2+x/2)(1+1/x)^(x*1/x)-sqrt(1+x^6)]
=lim(x->+∞)(x^3-x/2+1/2-sqrt(1+x^6))
=1/2+lim(x->+∞)(x^3-x/2-sqrt(1+x^6))
令t=1/x->+0
则上式化为
1/2+lim(t->+0)(1/t^3-1/2t-sqrt(t^6+1)/t^3)
=1/2+(1/2)lim(t->+0)[(2-t^2-2sqrt(t^6+1))/t^3]
=1/2+lim(t->+0)[(-1-3t^4/sqrt(t^6+1))/(3t)]
t->+0时，(-1-3t^4/sqrt(t^6+1))/(3t)的分子->-1，分母->+0，极限不存在，所以整体极限不存在！
1、f(a)=f(x)+f'(x)(a-x)+f''(ζ)(a-x)^2/2①
f(b)=f(x)+f'(x)(b-x)+f''(η)(b-x)^2/2②
②-①=>0=f'(x)(b-a)+f''(η)(b-x)^2/2-f''(ζ)(a-x)^2/2
=>f'(x)=[f''(ζ)(a-x)^2-f''(η)(b-x)^2]/[2(b-a)]
=>∫f'(x)dx=∫[f''(ζ)(a-x)^2-f''(η)(b-x)^2]/[2(b-a)]dx
原式=lim(x->+∞)[(x^3-x^2+x/2)(1+1/x)^(x*1/x)-sqrt(1+x^6)]
=lim(x->+∞)(x^3-x/2+1/2-sqrt(1+x^6))
=1/2+lim(x->+∞)(x^3-x/2-sqrt(1+x^6))
令t=1/x->+0
则上式化为
1/2+lim(t->+0)(1/t^3-1/2t-sqrt(t^6+1)/t^3)
=1/2+(1/2)lim(t->+0)[(2-t^2-2sqrt(t^6+1))/t^3]
=1/2+lim(t->+0)[(-1-3t^4/sqrt(t^6+1))/(3t)]
t->+0时，(-1-3t^4/sqrt(t^6+1))/(3t)的分子->-1，分母->+0，极限不存在，所以整体极限不存在！
1、f(a)=f(x)+f'(x)(a-x)+f''(ζ)(a-x)^2/2①
f(b)=f(x)+f'(x)(b-x)+f''(η)(b-x)^2/2②
②-①=>0=f'(x)(b-a)+f''(η)(b-x)^2/2-f''(ζ)(a-x)^2/2
=>f'(x)=[f''(ζ)(a-x)^2-f''(η)(b-x)^2]/[2(b-a)]
=>∫f'(x)dx=∫[f''(ζ)(a-x)^2-f''(η)(b-x)^2]/[2(b-a)]dx
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追问
第二题老师说用泰勒展开可得结果是1/6.
追答
对，我得的就是1/6感觉不对就没往下写……
你们老师怎么讲的这题？我向你提问好吗？
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