Question

设函数f(x),g(x)在[a,b]上可导，且f'(x)>g'(x),则当a<x<b时必有

f(x)+g(x)>g(x)+f(x) 是怎么回事？知道这个是答案，但是不懂？

Answer 1

柯西中值定理 也就是(拉个朗日中值定理的一个特殊情况)

条件是这个两个函数在 开区间(a,b)可导 闭区间[a,b]连续 g'(x)不等于0

结论是
f(b)-f(a) / g(b)-g(a) =f'(x)/g'(x)

题目是已知f'(x)/g'(x)>1 那么 f(b)-f(a) / g(b)-g(a) >1
也就是
f(b)-f(a)> g(b)-g(a) 移项得

f(b)+g(a)> g(b)+f(a) 因为 a<x<b 可以理解为区间是[a,x] [x,b]上使用

所以就得出了答案

Answer 2

f'(x)>g'(x)，f'(x)-g'(x)>0,h(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上单增，当a<x<b时,h(a)<h(x)<h(b),即

f(a)-g(a)<f(x)-g(x)<f(b)-g(b),

由f(a)-g(a)<f(x)-g(x)，得f(a)+g(x)<f(x)+g(a);
由f(x)-g(x)<f(b)-g(b)得f(x)+g(b)<f(b)+g(x);

Answer 3

f(x)+g(x)>g(x)+f(x)=>0>0??????

Answer 4

(f(x)-g(x))'>0,x>a,可得: f(x)-g(x)>f(a)-g(a)或f(x)+g(a)>f(a)+g(x)

Answer 5

你肯定看错了，那个东西里面肯定有导函数的撇你没看见，再仔细看看吧