Question

（高二数学椭圆）已知直线y=-x+1与椭圆相交于A,B两点

(1)若椭圆的离心率为√3/3,焦距为2，求线段AB的长
（2）若向量OA与向量OB相互垂直（o为坐标原点），当椭圆离心率a属于[1/2,(根号2)/2]时，求椭圆的长轴长的最大值
本人是文科生，详解谢谢》用我会的方法，有加分哦。。

Answer 1

解答：缺了条件，焦点应该在x轴上。
（1）离心率e=c/a=√3/3=1/√3
∵ c=1,∴ a=√3
∴ b=√2
∴ 方程为x²/3+y²/2=1
（2）设 A(x1,y1),B(x2,y2)
将y=-x+1代入b²x²+a²y²=a²b²
∴b²x²+a²(1-x)²=a²b²
∴(a²+b²)x²-2a²x+a²(1-b²)=0
利用韦达定理
∴x1+x2=2a²/(a²+b²)， x1*x2=a²(1-b²)/(a²+b²)
∴ y1y2=(-x1+1)*(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1=[a²(1-b²)-2a²+a²+b²]/(a²+b²)
∴ y1y2=b²(1-a²)/(a²+b²)
∵OA,OB互相垂直
∴ x1x2+y1y2=0
∴ a²(1-b²)+b²(1-a²)=0
即 a²+b²=2a²b²
∴ a²+a²-c²=2a²(a²-c²)
∴ 2a²=(2a²-c²)/(a²-c²)
分式上下同时除以a²

∴ 2a²=(2-e²)/(1-e²)=1+1/(1-e²)
∵ e∈[1/2,(√2)/2]
∴ e²∈[1/4,1/2]
∴ 1-e²∈[1/2,3/4]
∴ 1/(1-e²)∈[4/3,2]
∴ 1+1/(1-e²)∈[7/3,3]
∴ 2a²的最大值为3
∴ a的最大值为√(3/2)=√6/2
∴ 长轴长的最大值为√6

Answer 2

（1）e=c/a=√3/3, 2c=2 即c=1 a=√3
因为a^2=b^2+c^2
所以b=√2
椭圆方程就是x^2/3+y^2/2=1或x^2/2+y^2/3=1
（ 因为题目没说椭圆焦点的位于哪条坐标轴上）
接着联立直线与椭圆方程消去X或Y得到一个关于Y或X的一元二次方程，然后利用弦长公式就可以得到AB的长（弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 　　其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号 ）

追问

答案根号6

追答

焦点在X轴上跟在Y轴上所求出来的答案是不一样的
你打的问题里面没说明焦点位置