Question

一个高数求极限的问题。

求极限limx—>0 （1/x-1/(e^x-1)） 我一开始用等价无穷小代换， e^x-1代换为x，即得到极限的值为0.但后来我用了洛必达法则来计算改题的到是1/2，为什么会这样呢，是那一种错误了呢，请大家帮我看看，希望能得到详细的解释，谢谢!

Answer 1

e^x-1 和x 是同阶无穷小，即e^x-1 ～x
但不适用于 e^x-1 在分母的情况。实际是2个无穷大相减。
这种情况需要通分后判断。

追问

你可以说下等价无穷小代换使用的限制条件吗，即在什么样的情况下才能使用。

追答

你可以对比一下 1/(2e^0.5x-2) 减去1/X的情况

追问

还是属于上面题目的那种情况呀，我不理解你的意思？

Answer 2

limx—>0 （1/x-1/(e^x-1)）
=limx—>0 [1/x-1/(e^x-1)]
=limx—>0 [(e^x-1)-x]/[x(e^x-1)]
=limx—>0 [(e^x-1-x)]/[x(e^x-1)]
=limx—>0 [(e^x-1)]/[(e^x-1)+xe^x] 罗比塔法则
=limx—>0 [(e^x-1)]/[(1+x)e^x-1]
=limx—>0 (e^x)/[e^x+(1+x)e^x] 罗比塔法则
=limx—>0 [1/(2+x)]
=1/2

Answer 3

等价无穷小代换法则不能适用于加减运算，只能于乘除运算进行代换，所以你用等价无穷小代换是不对的。

这个题要先通分，然后用诺必达法则运算。得到1/2这个结果

等价无穷小代换法则不能适用于加减运算，当计算式为加减时，先通分，然后变为乘除式后可以运用无穷小代换了。如此题分子通分后分子变为e^x-1-x,分母变为x(e^x-1),分母运用无穷小代换得到x^2,此时分子分母接着用诺必达法则二次可得到答案1/2。

Answer 4

式子再清晰一些，罗毕大无穷比无穷算出来一定对