Question

f(x)在[0,1]连续可微，且满足f(0)=f(1)=0 0<=f<=1，f''(x)<=0

证明 曲线C：y=f(x) x属于[0,1]的弧长s小于等于3

＜= 的意思是 小于等于
“0<=f<=1”是说f(x)小于等于1，大于等于0

Answer 1

下面的方法可否，楼主自己也想下。
记A(0,0), B(1,0)
因f(0)=f(1)，由罗尔定理，存在0<a<1,使：f'(a)=0.由于f''(x)<=0，故f(a)为极大值，且f(a)<=1，极大值点记为C
由于f''(x)<=0，故f'(x)单调减少。
当0<=x<=a时，f‘(x)>=f'(a)=0, 故f(x)单调增加。
当a<=x<=1时，f‘(x)<=f'(a)=0, 故f(x)单调减少。
显然点C(a,f(a))为最大值。
现在任取点x. 0<=x<=a,在x点取dx>0,由于f(x)单调增加，dy>0,对于在曲线f(x)的弧长为ds
于是ds《dx+dy，积分得：∫(AC)ds《∫(0，a)dx+∫(0，f(a))dy《a+f(a)《a+1
类似可计算∫(BC)ds《1-a+1
所以：∫(AB)ds《3

追问

为什么ds《dx+dy呢 f'<=0所以f是凹函数，所以两点见连直线小于f的值，就是说dx^2+dy^2'<=de^2

追答

两边之和大于第3边
f'‘<=0所以f才是凹函数
我再说下，从几何意义上讲：
就是所求弧长不超过ABC三点构成的矩形(不包含底边)的周长，这是明显的

Answer 2

f''(x)<=0，f'(x)递减，且存在c，使得f'(c)=0，于是f'(x)在0<x<c上非负，在c<x<1上非正。
利用不等式根号(a^2+b^2)<=a+b，当a,b都非负时证明即可。
弧长=积分(从0到c)根号(1+(f'(x))^2)dx+积分(从c到1)根号(1+(f'(x))^2)dx
<=积分(从0到c)(1+f'(x))dx+积分(从c到1)(1-f'(x))dx
=f(c)+c+(1-c)+f(c)
=1+2f(c)<=3。

Answer 3

见图

Answer 4

f''(x)<=0说明f'(x)递减，且f(0)=f(1)=0，所以先上后下，且都大于0 然后利用弧长公式积分

Answer 5

f（x）难道没有公式吗？没看懂