Question

如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F，BE=CF,求证点D在BC的垂直平分线上。

Answer 1

因为AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
所以DE=DF
AD是公共边

三角形ADE≌三角形ADF
AE=AF
又 BE=CF
所以AB=AE+BE=CF+AF=AC
三角形ABC为等腰三角形
AD是顶角A的平分线，
则 AD为BC的垂直平分线
所以点D在BC的垂直平分线上

Answer 2

因为看不到你的图，所以设AD与BC相交于G，
因为∠BAD=∠CAD，所以AE=AG×cos∠BAD=AG×cos∠CAD=AF，
所以AB=AE+BE=AF+CF=AC，
所以△ABC是等边三角形，
又AD(AG)是∠ABC的角平分线，
所以AD垂直且平分BC，即点D在BC的垂直平分线上。