Question

高一数学线面垂直证明题目、【【

如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心。证明：PH垂直平面ABC

Answer 1

证明：∵PA，PB，PC两两互相垂直
∴AP⊥面BPC
∴AP⊥BC

连接AH分别交BC于Q，
∵H是△ABC的垂心
可知：AQ⊥BC

∴BC⊥面PAQ
∴BC⊥PH
同理，可证AB⊥PH
综上得：PH垂直平面ABC

Answer 2

因为PA垂直PB、PC，
所以PA垂直BC，
因为AH垂直BC，
所以面PAH垂直于BC，
PH垂直于BC
同理，面PBH垂直于AC，
PH垂直于AC
S所以PH垂直平面ABC

Answer 3

因为PA，PB，PC两两互相垂直
所以PA垂直平面BCF
又因为BC属于面BCF
所以PA垂直BC
又因为H是△ABC的垂心，AH垂直于BC
BC垂直于面APH，PH垂直于BC
同理可证
PH垂直于AB，PH垂直于AC
所以PH垂直平面ABC