Question

△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设向量AB=向量a，向量AC=向量b

（1）证明A、O、E三点在同一直线上，且AO/OE=BO/OF=CO/OD=2
(2)用向量a、b表示向量AO
请用向量知识解答，不要用初中的相似三角形

Answer 1

⑴    OB＝kFB＝k﹙a-b/2﹚＝ka-kb/2

OB＝OD+DB＝hCD+DB＝h﹙a/2-b﹚+a/2＝﹙h/2+1/2﹚a-hb

∴k＝h/2+1/2,   k/2＝h   解得k＝2/3   h＝1/3

即BO/OF=CO/OD=2
再设O′＝BF∩AE   同上可得BO'/O'F=AO'/O'E＝2   ∴O,O'重合。AOE共线，AO/OE=BO/OF=CO/OD=2
⑵ AO＝AB+BO＝AB+﹙2/3﹚BF＝a+﹙2/3﹚﹙-a+b/2﹚＝﹙a+b﹚/3

Answer 2

(1)向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.

向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.
则1-x= y/2， x/2=1-y，
解得x=2/3,y=2/3.
向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD,
即BO：OF=CO：OD=2。

∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,
又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,
从而向量AO=2/3向量AE,
即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线，
且有AO：OE=2.(2)向量AO=向量(a+b)/3