Question

高中数学 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角
（3）设AA1=2，求点F到平面A1ED1的距离
前两问答案为AD⊥D1F，直线AE与D1F所成角是直角我只问第三问，望您能详细解答，麻烦了。直线AE与D1F所成角是直角

Answer 1

解：（1）∵AC1是正方体
∴AD⊥面DC1，
又D1F⊂面DC1，
∴AD⊥D1F
（2）取AB中点G，连接A1G，FG，
∵F是CD中点
∴GF
∥..AD又A1D1∥..AD
∴GF
∥..A1D1∴GFD1A1是平行四边形∴A1G∥D1F设A1G∩AE=H
则∠AHA1是AE与D1F所成的角
∵E是BB1的中点∴Rt△A1AG≌Rt△ABE
∴∠GA1A=∠GAH∴∠A1HA=90°即直线AE与D1F所成角是直角

Answer 2

取cc1中点E‘，可知A1ED1平面过E’，连接D1E‘，做F⊥D1E'于F’，以证明FF'⊥面A1ED1（因为A1D1和EE'都⊥FF'所在的面），即FF'长度为所求距离
可以根据面积法算，2S△D1FC=CF×DD1=CD1×FF'，即2=FF‘×2倍根号二，则距离为2分之根号2
希望能帮到你
（补充：E’之所以可以确定在面A1ED1上是通过E做平行A1D1平行线交CC1得到的，很容易解释）

Answer 3

作CC1的中点M，F到面A1ED1的距离变成F到面A1EMD1的距离
作FN⊥D1M交D1M于N
则FN为F到面A1EMD1的距离（因为FN垂直于面A1EMD1）
S△CFD1=1/2(CF×DD1)也等于1/2(CD1×FN)（此时是把CD1看成是三角形的底边，FN看成是高）
CF=1,DD1=2,CD1=2倍（根号2）
所以FN=(根号2)/2（即为F到面A1ED1的距离）

希望我的回答能让您明白。（By：我爱理科团队）

Answer 4

分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系：
则D（0,0,0），A1（2,0,2),E(2,2,1),D1（0，0,2），F（0,1,0）
所以向量D1A1=（2,0,0），向量D1E=（2,2，-1），向量A1F=(-2,1-2)
设平面A1D1E的法向量为n=（x,y,1）
n*D1A1=2x=0
n*D1E=2x+2y-1=0
解得x=0，y=1/2 所以n=（0,1/2,1）
所以点F到平面A1ED1的距离
d=|（n*A1F）| / |n|=3(根号5)/5

Answer 5

利用F-A1ED1的体积相等来做！
1/3*三角形A1ED1的面积*h=1/3*三角形A1D1F的面积*EH
易求三角形A1ED1的面积、三角形A1D1F的面积和EH。
剩下的就不用我多说了吧？！