Question

已知，在四边形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，

它的两边分别交AD,CD（或它们的延长线）于E,F,∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF.当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图（2）和（3）这两种情况下,上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，线段AE,CF,EF,又有怎样的数量关系？



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Answer 1

(2)∵AB⊥AD,BC⊥CD
∴∠BAD=∠BCD=90°
即∠BAD+∠BCD=90°
∵AB=BC
∴将△ABE绕B旋转到AB和BC重合，得△ABE≌△BCG
∴∠BAE=∠BCG=90°，∠ABE=∠CBG
BE=BG，AE=GC
∴∠BCD+∠ACG=180°
∵∠EBF=60°，∠ABC=120°
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=60°
∴∠CBG+∠CBF=∠GBF=60°
∴∠EBF=∠GBF
∵BF=BF，BE=BG
∴△BEF≌△BGF(SAS)
∴EF=GF=GC+CF=AE+CF
(3)在AE上截取AG=CF
∵BC⊥CD，BA⊥AD
∴∠BAG=∠BCF=90°
∵AB=BC
∴△ABG≌△CBF(SAS)
∴BG=BF
∠ABG=∠CBF
∵∠ABC=120°
∴∠ABC=∠ABG+∠GBC=∠CBF+∠GBC=∠GBF=120°
∵∠EBF=60°
∴∠GBE=∠GBF-∠EBF=120°-60°=60°
∴∠GBF=∠EBF(∠FBE)
∵BE=BE，BG=BF
∴△BEG≌△BEF(SAS)
∴EF=EG=AE-AG=AE-CF

Answer 2

也是这个结论AE+CF=EF

△BCF以B为圆旋转，使得BC跟AB重合BF到BF‘位置
这个时候我们发现
∠ABE+∠CBF=∠EBF=60°
且BF=BF'，BE=BE
所以△BFE≡△BF'E
所以AE+CF=EF