Question

在双曲线x^2/12-y^2/13=1的一支上有不同三点A(x1,y1）B(x2,6)

C(x3，y3)它们的纵坐标构成等差数列
1.求y1+y3
2.求证：线段AC垂直平分线经过一定点，并求出定点坐标

Answer 1

解答:
(1)纵坐标成等差数列。
∴ 6-y1=y3-6
∴ y1+y3=12
(2) 双曲线方程为13x^2-12y^2=12*13
∴ 13x1^2-12y1^2=12*13 ①
13x3^2-12y3^2=12*13 ②
①-②
∴ 13(x1-x3)(x1+x3)-12(y1-y3)(y1+y3)=0
∴ k(AC)=(y1-y3)/(x1-x3)=13(x1+x3)/[12(y1+y3)]=13(x1+x3)/144
∴ AC垂直平分线的斜率是-144/[13(x1+x3)]
AC中点坐标为( (x1+x3)/2,6 )
∴ AC的方程为 y-6=-144/[13(x1+x3)] *[x-(x1+x2)/2]
∴ x=0时，y-6=-144/[13(x1+x3)] *[-(x1+x2)/2]=72/13
∴ y=6+72/13=50
∴线段AC垂直平分线经过一定点（0,50）