Question

在三角形ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合），DE⊥BE与E，∠EBA=2

在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，D是线段BC上的一个动点（不与点B重合），DE⊥BE于E，∠EBA=1/2∠ACB,DE与AB相交于点F。
（1）当点D与点C重合时，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明。
（2）当点D与点C不重合时，（如图二），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由。
（1）

（2）





Answer 1

(1)

 

FD＝2BE

证明：延长BE、CA交于点G

∵C与D重合，DE⊥BE

∴CE⊥BE

∵∠BAC＝90

∴∠BAG＝90

∴∠BAG＝∠BAC

∵CE⊥BE，∠BAC＝90, ∠BFE＝∠CFA

∴∠ABG＝∠ACE

∵AB＝AC

∴△ABG全等于△ACF （ASA）

∴BG＝CF

∵∠EBA=1/2∠ACB

∴∠ACE＝1/2∠ACB

∴∠BCE＝1/2∠ACB

∴∠ACE＝∠BCE

∵CE＝CE，BE⊥CE

∴△BCE全等于△GCE （ASA）

∴BE＝GE

∴BG＝2BE

∴FC＝2BE

∵D与C重合

∴FD＝2BE

(2)

第二题就是证明△LBH≌△FDH和△LED≌△BED

同理（1）可以证出来BE=1/2 FD

Answer 2

1. 由题可知，∠ACB = ∠ABC = 45度， 所以∠EBA = 22.5度
同样可以推算，∠EFB = 67.5度，所以∠ECB = 22.5度，∠EBC = 67.5度
所以三角形EBF 与 三角形ECB 相似
设BE / EF = x， 则ED / BE = x， 因为三角形角度已经固定，所以x为一常量(tg22.5度)

FD / BE = (ED - EF) / BE = (x * BE - EF) / BE = x - EF / BE = x - 1/x，也是一个常量
(也就是tg22.5度 - ctg 22.5度)

2. 可以做类似1的辅助线，辅助线与新线平行，同样可以得到三角形相似，因此1的猜想仍然成立

追问

我没学相似

追答

那你学过什么呢？直角三角形的高与底的关系学过吗？