Question

已知抛物线y=x²-(m²+5)x+2(m²+3）

已知抛物线y=x²-(m²+5)x+2(m²+3)
（1）求证：无论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2.0)
(2)设此抛物线与X轴的另一个交点为B，AB的长为d，求出d与m之间的函数关系式
（3）设d=10，P（a,b)为抛物线上一点：
①当△ABP是直角三角形时。求b的值
②当△ABP是锐角三角形，钝角三角形时，分别写出b的取值范围。（不必写出解答过程）

Answer 1

⑴y=x²-(m²+5)x+2(m²+3)=(X-2)［X-(m²+3)］
令Y=0得X=2或X=m²+3，
∴无论m取何值，抛物线志X轴必交于(2，0)与(m²+3，0)。
⑵d=m²+3-2=m²+1。
⑶当d=10时，m²=9，B(12，0)，抛物线就是：Y=X²-14X+24
①∵A、B都在抛物线 上，∴∠PAB与∠PBA都不能为直角，
∴∠APB=90°，设对称轴X=7与X轴交于C，则PC=1/2AB=5，C(7，0)，
P(a，a²-14a+24)，根据勾股定理得：
PC²=(a-7)²+(a²-14a+24)²，
设(a-7)²=K，得：K+(K-25)^2=25，
K²-49K+600=0，K=24或25，
∴(a-7)²=24或(a-7)²=25，
b=a²-14a+24=(a-7)²-25，
∴b=-1或0(舍去)。
②当-25<b<-1时，ΔPAB为锐角三角形，
当-1<b<0或b>0时，ΔPAB是钝角三角形。

Answer 2

解：∵y=x2^-(m+5)x+2(m^2+3)，
则当y=0时，x^2-（m^2+5)x+2(m^2+3)=0有解，即抛物线与x轴相交。
又y=x^2-(m^2+5)+2(m^2+3)

=(x-2)[x-(m^2+3)]
∴当y=0时，x^2-(m+5)x+2(m^2+3)=0
即：（x-2)[x-(m^2+3)]=0
∴x=2，x=m^2+3
又当m∈R时，m^2≥0

∴m^2+3≥3
∴无论m取何值，（m^2+3)都有意义。
∴无论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且有一个交点是（2，0）。
∴B点坐标为（m^2+3，0）
∴IABI=(m^2+3)-2
=m^2+1
∴d=m^2+1
∵d=10，即IABI=10；
∴m^2=9
∴B点为（12,0）
∴y=x^2-14x+24
=(x-7)^2-25
此时，抛物线以x=7为对称轴、以（7，-25）为顶点开口向上的图像；
IAPI=√[（a-2)^2+b^2]
IBPI=√[(a-12)^2+b^2]
∴IAPI^2+IBPI^2=2(a^2-14a+74+b^2)
又∵P点(a,b)是抛物线上的点，
∴b=a^2-14a+24
∴a^2-14a=b-24
又∵△ABP是RT△，
∴2（b-24+74+b^2)=10^2
化简得：b^2-b=0
解之得：b=0，b=1
又b=0时，在抛物线上的点和A点、B点重合，就不能形成三角形，∴b=0舍去
∴b=1

√√√√

Answer 3

1：根据判别式△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，
△=(-(m²+5))²-8（m²+3）=(-(m²+5))²+8(-(m²+5) )+16=（-（m²+5）+4)²=(-m²-1)²=(m²+1)²>0
故与X轴必有两个焦点；
又与X轴焦点时，y=0,故：y=x²-(m²+5)x+2(m²+3)=4-2（m²+5）+2(m²+3)=0,所以必有焦点
（2,0）.
2：AB=(b2-4ac)/|a|=d ,即d=m²+1
3：①因为d=m²+1=10，故m=±3,所以y=x²-14x+24,抛物线与Y轴焦点为（0,24）
此时B坐标为B(12,0)，此时P必在X轴下方，则AB²=BP²+AP²,即10²=b²+(a-2)²+b²+(12-a)²
抛物线必过P(a，a²-14a+24)，故：b=a²-14a+24=(a-7)²-25，
∴b=-1
②当-25<b<-1时，ΔPAB为锐角三角形，
当-1<b<0或b>0时，ΔPAB是钝角三角形。