Question

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,MN是异面直线AC与C1D的公垂线，试确定M在AC及N在C1D上的位置

用空间向量做，在线等。。

Answer 1

以A为原点，分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴建立坐标系A-xyz
则A(0,0,0),C(1,1,0),C1(1,1,1),D(0,1,0)
设AM=tAC=t(1,1,0)=（t,t,0) ∴M(t,t,0)
设N(x,y,z), C1N=sC1D
∵C1N=(x-1,y-1,z-1),C1D=(-1,0，-1）
∴(x-1,y-1,z-1)=s(-1,0,-1)
∴x-1=-s,y-1=0,z-1=-s
∴x=1-s,y=1,z=1-s
即N(1-s,1,1-s)
∴MN=(1-s-t,1-t,1-s)
∵MN是异面直线AC与C1D的公垂线
∴MN●AC=0且MN●C1D=0
∴{(1-s-t)+1-t=0
{-1+s+t+s-1=0
解得：s=t=2/3
∴M(2/3,2/3,0),N(1/3,1,1/3)
∴M在线段AC上分AM,MC为2：1
N在C1D上分C1N:ND为2:1