Question

1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上 的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面

1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上
的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
（用空间向量的方法求证）
t

Answer 1

平行

面ABCD是底面
（1）作ME⊥AB于E，连接NE
∵ME⊥AB，BB1⊥AB（同一平面内）
∴ME//AB
∴BE/AB=ME/AA1=ME/A1B=(√2a -√2a/3）/√2a =2/3
∴AE/AB=1/3
又∵AN/AC=(√2a/3) / (√2a ) =1/3
∴AE/AB = AN/AC
∴NE // BC面
∵BC∈面BB1C1C NE在平面外
∴NE // 面BB1C1C
同理ME // 面BB1C1C
又∵ME,NE相交于点E
∴面MNE // 面BB1C1C
∴MN//面BB1C1C

追问

用空间向量的方法求证

追答

解：∵正方体棱长为a，A1M=AN=2a3，
∴MB→=23A1B→，CN→=23CA→，
∴MN→=MB→+BC→+CN→=23A1B→+BC→+23CA→
=23（A1B1→+B1B→）+BC→+23（CD→+DA→）
=23B1B→+13B1C1→．
又∵CD→是平面B1BCC1的法向量，
且MN→•CD→=（23B1B→+13B1C1→）•CD→=0，
∴MN→⊥CD→，
∴MN∥平面B1BCC1．
故选B