Question

求f(x)=(a+sinx)(a+cosx)的最值

Answer 1

解：
f(x)=(a+sinx)(a+cosx)
=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a^2.
设sinx+cosx=t （-√2≤t≤√2），
则sinxcosx=（t^2-1）/2，
f(t)=(t^2+2at+2a^2-1)/2，（-√2≤t≤√2）。
问题转化为求f(t)的最值
f(t)=1/2 [(t +a )^2] +(a^2-1)/2. （-√2≤t≤√2）
当-√2≤a≤0
f min=f(-a)=（a^2-1）/2,
f max=f(－√2)=a^2-√2a+1/2.
0<a≤√2时，
f min=f(-a)=（a^2-1）/2,
f max=f(√2) ＝a^2+√2a+1/2.
当a＞√2时，
f min=f(-√2)＝ a^2-√2a+1/2
f max=f(√2)＝ a^2+√2a+1/2，

追问

可不可以这样：
y=(a+sinx)(a+cosx)
=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a^2
=(1/2)sin2x+√2sin(x+π/4)+a^2
=-(1/2)cos(2x+π/2)+√2sin(x+π/4)+a^2
=-(1/2){1-2[sin(x+π/4)]^2}+√2sin(x+π/4)+a^2
=sin(x+π/4)]^2+√2sin(x+π/4)+a^2-1/2
令t=sin(x+π/4) 则有-1<=t<=1
原式就=（t-√2\2)^2+a^2-1,对称轴为t=-√2\2,则取该值时，有最小值a^2-1
取t=-1时，则有最大值a^2+√2

追答

你好像在恒等变换中少了个a
y=(a+sinx)(a+cosx)
=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a^2
=(1/2)sin2x+√2sin(x+π/4)+a^2
应为
=-(1/2)cos(2x+π/2)+√2asin(x+π/4)+a^2

Answer 2

你好

f(x)=(a+sinx)(a+cosx)
=a²+a（sinx+cosx）+sinxcosx
=a²+a（sinx+cosx）+1/2sin2x

f′(x)=a（cosx-sinx）+1/2cos2x*2
=a（cosx-sinx）+cos2x
=a（cosx-sinx）+（cos²x-sin²x）
=（a+cosx+sinx）（cosx-sinx）
=0
a+cosx+sinx=0与a的值有关
cosx-sinx=0时，
f(x)有最值
此时，sinx=cosx=±√2/2