Question

求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和

Answer 1

http://zhidao.baidu.com/question/10683417.html
先看上面这个, 给出了2个公式及其推导过程.

1)
1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

2)
1^3 + 2^3 +3^3 + ……+ n^3 = [n(n+1)/2]^2

因此可以把所求式子展开,然后利用上面的2个公式

n(n+1)(2n+1) = (n^2+n)(2n+1) = 2n^3 +3n^2 +n

Sn = 2*(1^3+2^3+……+n^3) + 3*(1^2+2^2+ ……+n^2) + (1+2+……+n)
= 2*[n(n+1)/2]^2 + 3*n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
= [n*(n+1)]^2/2 + n(n+1)(2n+1)/2 + n(n+1)/2
提出 n(n+1)/2
= [n(n+1)/2] * [n(n+1) + (2n+1) + 1]
= [n(n+1)/2] * (n^2 +3n+2)
= n * (n+1)^2 * (n+2) /2

Answer 2

展开成2n³+3n²+n
分别求n³ n² n的值不就行了
n的累加公式为1/2n(n+1)
n²的累加公式为 1/6n(n+1)(2n+1)
n³的累加公式我也不记得了，你就直接推导就行了

推导提示：求n(n+1)(n+2) 这个是1/6*C³n,这个和很容易就求出来了
减掉低次项就把n³求出来了

或者你也可以这样做：
把这个式子写成这样的n(n+1)(2n+4)-n(n+1)*3=2*1/6*C³n-3*1/2*C²n
然后求C³n C²n的和就行了
这样简单些

Answer 3

1)
1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

2)
1^3 + 2^3 +3^3 + ……+ n^3 = [n(n+1)/2]^2

因此可以把所求式子展开,然后利用上面的2个公式

n(n+1)(2n+1) = (n^2+n)(2n+1) = 2n^3 +3n^2 +n

Sn = 2*(1^3+2^3+……+n^3) + 3*(1^2+2^2+ ……+n^2) + (1+2+……+n)
= 2*[n(n+1)/2]^2 + 3*n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
= [n*(n+1)]^2/2 + n(n+1)(2n+1)/2 + n(n+1)/2
提出 n(n+1)/2
= [n(n+1)/2] * [n(n+1) + (2n+1) + 1]
= [n(n+1)/2] * (n^2 +3n+2)
= n * (n+1)^2 * (n+2) /2