Question

f(x)在(0,1]上连续可导,且lim[f ' (x)*√x]存在,x趋于0正。求证f(x)在(0,1]上一致连续

Answer 1

因为 lim[f ' (x)*√x]存在,x趋于0正， 所以存在0<x0<1 及K>0， 使得 当 0<x<x0 时， |f'(x)*√x|<K
于是
任给 0<x<x0/2,
|f(2x)-f(x)|/(2x-x)= f'(t) ..... x<t<2x
< K/√t<K/√x
==> |f(2x)-f(x)| < k√x
取 N>0, 使得 1/2^N < x0
考虑序列 {an=f(1/2^(n+N)), n=1,2,...}
任给n,m>0
|a(n+m)-an| <=|a(n+m)-a(n+m-1)|+...+|a(n+1)-an|
<= k*2^(-(n+m+N)/2) + ...+ k*2^(-(n+N+1)/2)
<k*2^(-(n+N+1)/2)* 1/(1- 1/√2)
说明 an 是柯西序列，所以收敛。 设 lim an = A.
扩大f 的定义域， 定义 f(0)=A.

于是 任给 0<x<=1/2^N,
存在 n, 使得 1/2^(n+N))<= x< 1/2^(n+N-1)
|f(x)-A|<= |f(x)-an|+|an-A| <= k/2^((n+N)/2) + k*2^(-(n+N+1)/2)* 1/(1- 1/√2)
从上式 可得 lim(x-->0+)f(x)=A

于是 在【0，1】上定义的 f 连续，因为 【0，1】为有界闭区间，所以f一致连续。于是定义在(0,1]上的f 也一致连续。