Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点E、D分别是AC、PC的中点，EP⊥底面ABC． 当K=1/2时，求直

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点E、D分别是AC、PC的中点，EP⊥底面ABC． 当K=1/2时，求直线PA与平面PBC所成角的余弦

Answer 1

令BC的中点为F。利用赋值法，设AB＝1，则：BC＝1、PA＝2。
∵PE⊥平面ABC，∴PE⊥AC，又E∈AC且AE＝CE，∴PC＝PA＝2。
∵AB＝BC＝1、AB⊥BC，∴AC＝√2，∴AE＝√2/2，
∴PE＝√（PA^2－AE^2）＝√（4－1/2）＝√7/√2。
∴S(△ABC)＝（1/2）AB×BC＝1/2，
∴V(P－ABC)＝（1/3）S(△ABC)×PE＝（1/3）×（1/2）×（√7/√2）＝√14/12。

∵AB＝BC、AB⊥BC、E∈AC且AE＝CE，∴BE＝CE。
∵PE⊥平面ABC，∴BE、CE分别是PB、PC在平面ABC上的射影，又BE＝CE，∴PB＝PC＝2。
∵PB＝PC＝2、BC＝1、F∈BC且BF＝CF，∴BF＝1/2、PF⊥BF，
∴PF＝√（PB^2－BF^2）＝√（4－1/4）＝√15/2。
∴S(△PBC)＝（1/2）BC×PF＝（1/2）×1×（√15/2）＝√15/4。

过A作AG⊥平面PBC交平面PBC于G。显然有：
V(A－PBC)＝（1/3）S(△PBC)×AG＝V(P－ABC)＝√14/12，
∴（1/3）×（√15/4）AG＝√14/12，∴AG＝√14/√15，
∴sin∠APG＝AG/PA＝（√14/√15）/2＝√7/√30，
∴cos∠APG＝√［1－（sin∠APG）^2］＝√（1－7/30）＝√23/√30＝√69/30。
∴直线PA与平面PBC所成角的余弦值为√69/30。