Question

泰勒公式的一个问题！求高手

Answer 1

任意高数书上都会讲Taylor展式的惟一性，这就是用了唯一性而已。
有了唯一性，不论你用什么方法（即使是错误的方法也可能得到正确的结果），
只要最后你保证一点：余项是o(x^n)（一定要保证这一点），那么
你得到的多项式就是Taylor多项式，也就是你展开的结果是正确的。
这是Taylor多项式的好处，就是大致上可以将之作为多项式处理。
比如sinx*ln(1+x)的展式：直接将sinx，ln(1+x)展为多项式，然后两个多项式
相乘再合并同类项就可以了。但最后要保证余项是o(x^n)，这一点很简单，
因为只要ln(1+x)展开到o(x^n)，sinx展开到o(x^(2n－1))，那么余项
就是o(x^n)，因为此时两个函数相乘后的项都是x^(m)*x^(k)，只要m+k>n，
这一项就是o(x^n)，因此ln(1+x)的余项是o(x^n)，sinx的展式中次数最低也是1，
两者相乘就是o(x^n)，其余的那些高次项更是o(x^n)。因此两个函数相乘时
合并同类项时你只需将次数不高于n次的项计算出来即可，高于n次的不用计算。
别的题目完全类似。

追问

也就是说如果两个函数相乘的形式用泰勒公式展开只能得带有佩亚诺余项公式？还有一个问题，请问如果是y = e^(-x^2/2)如何展开呢？老师说直接将-x^2/2代替成x 展开y=e^x就行了。。。那这里是什么根据呢？难道随便含x都能替换？

追答

正确，要想得到其他余项的就必须得到n阶导数的表达式才行。
e^(－x^2/2)，前面已经说了，只要你得到的余项是o(x^n)就可以了。
e^x＝1+...+o(x^n)，这里的x不是一个具体的变量，而是任意的趋于0的
量都是可以的，也就是x可以是ln(1+x)，也可以是sinx，或者其他的任意
趋于0的东西都可以。当然这时余项相应的就是o(ln(1+x)^n)或者其他的
相应的东西了。

追问

我学的是数学分析 华东师大第四版 就没有提到唯一性

Answer 2

其实想明白泰勒公式是怎么回事就好了，之所以发明一个余项，就是因为你永远表示不完所有项，表示到一定程度以后后面的项就是一个高阶无穷小。之所以把两个乘在一起，是因为在误差之内，泰勒多项式就是原来的那个函数的替换，所以一定可以乘。