Question

已知椭圆1/2 X∧2 +Y∧2 =1及椭圆外一点M(0,2)，过这点引直线与椭圆交于A,B两点，求AB中点P的轨迹方程 。

求过程！

Answer 1

解：设而不求是此一类题目特点
设A（x1，y1）
B（x2，y2）
中点P（x，y）设直线AB：y-2=k（x-0），所以y=kx+2
则：x=x1+x2/2，所以x1+x2=2x
y=y1+y2/2，所以y1+y2=2y
又1/2 X1² +Y1²=1.......①
1/2 X2² +Y2² =1.........②
①-②：1/2(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
所以：k=y1-y2/x1-x2=-2y/x
代入y=kx+2
所以y=（-2y/x）*x+2
所以3y=2
所以y=2/3
所以P轨迹方程为y=2/3

追问

答案不是这个！！

Answer 2

由点M(0,2)所引的直线若是y轴，则AB中点就是座标原点。
除了y轴，直线方程就是　y=kx+2,
与椭圆交点A和B横坐标满足：
(x^2)/2+(kx+2)^2=1，
即(1+2k^2)x^2+8kx+6=0，

线段AB中点C的横坐标为　U=-(x1+x2)/2=-4k/(1+2k^2)，|U|≤√2.
纵坐标为　V=kU+2=4k^2/(1+2k^2)+2，

消去k得到轨迹方程为　(U^2)/2+(V-1)^2=1，|U|≤√2。
是椭圆弧(U^2)/2+(V-1)^2=1上|U|≤√2的一段。
　

Answer 3

设直线房成为y=kx+2在于椭圆联立方程组得关于x的一元二次方程
设P坐标（x,y）A坐标（x1.y1）B坐标（x2,y2）
根据方程求得x1x2和，积还有y1y2和，积
再利用P点与A,B 坐标的关系求解

追问

求详细过程！

追答

x^2/2+y^2=1 y=kx+2
x^2+2(k^2x^2+4+4kx)=2
(2k^2+1)x^2+8kx+6=0
x1+x2=-8k/(2k^2+1)
y1+y2=kx1+2+kx2+2=-8k^2/(2k^2+1)+4=4/(2k^2+1)
x=-4k/(2k^2+1) y=2/(2k^2+1)
-2ky=x
k=x/(-2y)
y=x/(-2y)*x+2
-2y^2=x^2-4y
x^2+2y^2-4y=0

追问

-2ky=x怎么来的?

追答

消掉k

追问

我是问2ky=x怎么由x=-4k/(2k^2+1) y=2/(2k^2+1)
来的?不是问-2ky=x的作用

追答

xy不是都能用k表示了吗？
观察一下就发现了啊