Question

已知函数y=(sinx)平方+sinx+cosx+2,求值域

Answer 1

解：
用^表示次方
y=(sinx)^2+sinx+cosx+(sinx)^2+(cosx)^2+1
y=2(sinx)(cosx)+sinx+cosx+(sinx)^2+(cosx)^2+1
y=(sinx+cosx)^2+sinx+cosx+1
令z=sinx+cosx
y=z^2+z+1
这是一条对称轴为-0.5，开口向上的抛物线
y的最小值为1.75，在z=-0.5出取得
z^2=1+2sinxcosx
z^2=1+sin2x
0=<z^2<=2
-2^0.5=<z<=2^0.5
很明显对称轴靠近z的取值范围左半边，那么右半边的z值将使y取得最大值
y=2^0.5+3
所以1.75=<y<=3+2^0.5

追问

恩哼？最小值应该是0.75
最大值是对滴~~

追答

就是0.75，你把z=-0.5带进去看看，我把它带成0.5了，所以错了。

Answer 2

y=sin²x+sinx+cosx+2
=(1-cos2x)/2+√2sin(x+π/4)+2
=(1/2)sin(2x+π/2)+ √2sin(x+π/4)+5/2；
=(1/2)sin(2θ)+ √2sin(θ)+5/2 其中θ=x+π/4；
对上式两端求导并令导数等于0：
y‘=cos(2θ)+ √2cosθ=0；
即：2cos²θ+ √2cosθ-1=0；
解方程得：cosθ=(√10-√2)/4；（小于-1的根不合理舍去）；
sinθ=±√(1-cos²θ)=±[√(1+√5)]/2；
sin(2θ)= sinθ*cosθ=±{[√(1+√5)]/2}*(√10-√2)/4=±[√(2√5-2)]/4；
Max y=(1/2)* [√(2√5-2)]/4+√2*(√10-√2)/4+5/2=[√(2√5-2)]/8+√5/2+2；
Min y=(1/2)* [-√(2√5-2)]/4+ √2*(-√10-√2)/4+5/2=3-[√(2√5-2)]/8-√5/2；
祝楼主学习进步，不懂继续追问