Question

急急急！设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e的-y次方 ，0<x<y { 0,其他

1.求X+Y的概率密度f 下标为X+Y的(z)
2.求条件概率密度f 下标为X︱Y的（x︱y）
3.求条件概率P{X>3︱Y<5}
4.求条件概率P{X>3︱Y=5}

Answer 1

(1)
Z=X+Y
F(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=∫(0,z/2)∫(x,z-x) f(x,y) dydx
=-2e^(-z/2)+1+e^(-z)
fz(z)=F'(z)=e^(-z/2)-e^(-z)
(2)
fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)
Y的边缘密度是fY(y)=∫(0,y) e^(-y)dx=ye^(-y)
所以fX|Y(x|y)=1/y
(3)
P{X>3|Y<5)=P(X>3 Y<5)/P(Y<5)
P(X>3 Y<5)=∫(3,5)∫(x,5) e^(-y)dydx=e^(-3)-3e^(-5)
P(Y<5)=∫(0,5) ye^(-y)dy=1-6e^(-5)
所以P{X>3|Y<5)=(e^2-3)/(e^5-6)
(4)
(2)已求出fX|Y(x|y)=1/y
所以fX|5(x|5)=1/5
P{X>3︱Y=5}=∫(3,5) 1/5dx=2/5

Answer 2

(1)
Z=X+Y
F(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=∫(0,z/2)∫(x,z-x) f(x,y) dydx
=-2e^(-z/2)+1+e^(-z)
fz(z)=F'(z)=e^(-z/2)-e^(-z)
(2)
fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)
Y的边缘密度是fY(y)=∫(0,y) e^(-y)dx=ye^(-y)
所以fX|Y(x|y)=1/y
(3)
P{X>3|Y<5)=P(X>3 Y<5)/P(Y<5)
P(X>3 Y<5)=∫(3,5)∫(x,5) e^(-y)dydx=e^(-3)-3e^(-5)
P(Y<5)=∫(0,5) ye^(-y)dy=1-6e^(-5)
所以P{X>3|Y<5)=(e^2-3)/(e^5-6)
(4)
(2)已求出fX|Y(x|y)=1/y
所以fX|5(x|5)=1/5
P{X>3︱Y=5}=∫(3,5) 1/5dx=2/5

Answer 3

1.f(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=f(x,y)对y积分，下限x，上限无穷，结果fX(x)=e^(-x)
2.f(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=f(x,y)对x积分，下限0，上限y，结果fY(y)=ye^(-y)
3.f(x,y)=e^(-y)不等于fX(x)*fY(y),故X和Y不独立
4。概率密度函数f(x,y)在直线x=0,y=x,y=-x+1所围的三角形区域的二重积分，结果是1+e^(-1)-2e^(-1/2）