Question

设y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件y∫x=In2=0的特解。

Answer 1

代入y=e^x，得xe^x+p(x)e^x=x，即：p(x)=x(e^(-x)-1)；
代回微分方程xy'+p(x)y=x；得：y'+(e^(-x)-1)y=1；
取y=(q+1)e^x，代入得：(q+1)e^x+q'e^x+q+1-(q+1)e^x=1，
即：q'e^x+q=0；
解得：q=Ae^(e^(-x))，
故： y=(Ae^(e^(-x))+1)e^x；
由y(x=In2)=0，得：(Ae^(e^(-In2))+1)e^In2=0，即： A=-e^(-1/2)

故： y=e^x-e^(e^(-x)+x-1/2))。···········

Answer 2

代入y=e^x，得xe^x+p(x)e^x=x，即：p(x)=x(e^(-x)-1)；
代回微分方程xy'+p(x)y=x；得：y'+(e^(-x)-1)y=1；
取y=(q+1)e^x，代入得：(q+1)e^x+q'e^x+q+1-(q+1)e^x=1，
即：q'e^x+q=0；
解得：q=Ae^(e^(-x))，
故： y=(Ae^(e^(-x))+1)e^x；
由y(x=In2)=0，得：(Ae^(e^(-In2))+1)e^In2=0，即： A=-e^(-1/2)
所以：
y=e^x-e^(e^(-x)+x-1/2))。希望能用上