Question

一道关于圆锥曲线的数学题！

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当角F1PF2=60度时，这一相关曲线中双曲线的离心率是多少？详细过程，谢谢！

Answer 1

记F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得(2c)^2=m^2+n^2-2mncos60度，即
4c^2=m^2+n^2-mn。
设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2，即
m=a1+a2，n=a1-a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a1^2-4a1a2+a2^2=0，可求得
a1=3a2，e1*e2=(c/a1)*(c/a2)=[(c/a2)^2]/3=1，e2=√3，e1=(√3)/3。

Answer 2

椭圆焦点距离和为2a，，而双曲线差为2a，，，这一过程中要用到余弦定理，还要设双曲线离率为e，。。那么椭圆为倒数，注意一点，它们的c一样 我是用手机上的，，，那些过程写起来太麻烦，我就用汉语说的，希望对你有帮助