Question

已知二次函数y=-1/4x²+3/2x+4的图像与y轴交于点A, 1,2问完整过程，很急，完整！谢谢

Answer 1

（1）A（0，4），C（8，0)

(2)易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b
由b=4，8k+b=4,所以k=-1/2，所以y=-1/2x+4
①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴E1（0，4）
②当ED=EC时，可得E2（11/2，5/4）
③当CD=CE时，过点E作EG⊥CD
则△CEG ∽△CAO，∴EG/AO=GC/OC=CE/CA
即EG=√5，CG=2√5，∴E3（8-2√5，√5）
综上有三个点（8-2√5，√5），（11/2，5/4），（0，4）满足题意
（3）过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．
设P（m，-1/4m^2+3m/2+4），则Q（m，-m/2+4）．
当0<m<8时,PQ=(-1/4m^2+3/2m+4)-(-1/2m+4)=-1/4m^2+2m
三角形APC的面积=三角形CPQ+三角形APQ的面积=1/2*8*(-1/4m^2+2m)=-(m-4)^2+16
所以0<S<=16
当-2<m<0时，PQ=(-m/2+4)-(-1/4m^2+3m/2+4)=1/4m^2-2m
三角形APC的面积=三角形CPQ-三角形APQ的面积=1/2*8*(1/4m^22m)=-(m-4)^2-16
所以0<S<20
故S=16时，相应的点P有且只有两个

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Answer 2

解：（1）令x=0，则y=4,∴A(0,4)

                令y=0,  0=-1/4x²+3/2x+4即x²-6x-16=0

                                            (x-8)(x+2)=0             

                                    ∴x1=-2，x2=8

                                         ∴B(-2,0),C(8,0)

           (2)存在。①∵DC=BC/2=10/2=5，OD=8-5=3

                               ∴AD=5，

                                 ∴E在A处时，DA=DC,

                                     ∴当E(0,4)  时  ，  △DEC为等腰三角形

                          ②作DC的垂直平分线，交AC于点E,交x轴于点F,则ED=EC

                                    OF=3+2.5=5.5

                      由三角形相似可求得EF=1.25，∴E' (5.5,1.25)

                           ③以C为圆心，以5为半径画弧，交AC于点E，作EG⊥x轴于点G

                              由△AOC∽△EGC得EG/4=5/(4√5)

                                 ∴EG=√5，∴CG=2√5 ∴OG=8-2√5

                                 ∴E" (8-2√5，√5)

           ∴E(0,4) ，E' (5.5,1.25)，E" (8-2√5，√5)

 

 

（3）当第一象限只有一个，第二象限一个时，有且只有两个

        ∴作AC的平行线L,且L与抛物线相切于点P,在AC下方作L'//AC,与抛物线交于点P'

            就这两点P,P'

         设L解析式为y= -½ x+b,与y=-1/4x²+3/2x+4联立，得

         -1/4x²+2x+4-b=0即x²-8x+4b-16=0

          ∴ △=(-8)²-4×1×(4b-16)=0   ∴b=8

           ∴x1=x2=4,∴y1=y2=6

          ∴P(4,6)

            作PQ⊥x轴，交AC于点Q，交x轴于点R，由三角形相似可求RQ=2

                  ∴PQ=6-2=4

           ∴S△PAC=½PQ×OR+½PQ×RC

                            =½ ×4×4+½ ×4×4

                             =16

      所以，当S=16时，相应的P有且只有两个。