Question

tan^2xdx 不定积分

Answer 1

∫ tan²x dx

=∫ (sec²x-1) dx

=∫sec²xdx-∫dx

=tanx-x+C

中间用到了以下换算：

sec²x=tan²x+1

∫sec²xdx = tanx 

扩展资料：

定理：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) 

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求，而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。当熟练掌握这一方法后，可以不必引入变量u.

由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分来对待，从而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一题目中已经这样用了，那里把积分∫F'(x)dx,记作∫dF(x),就是按微分F'(x)dx=dF(x),把被积表达式F'(x)dx.记作dF(x)。

Answer 2

具体回答如下：

∫tan²xdx

=∫(sec²x-1)dx

=tanx -x +C

分布积分法意义：

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式。

而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为计算真分式的积分。可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

Answer 3

tan^2x=sin^2x/cos^2x=(1-cos^2x)/cos^2x=1/cos^2x-1
再求积分就是tanx-x+C

Answer 4

简单分析一下，答案如图所示

Answer 5

∫(tanx)^2dx
=∫[(secx)^2-1]dx
=tanx-x+ C

追问

为什么- -第二步可以做一次导数呢

追答

∫(tanx)^2dx
=∫[(secx)^2-1]dx ((secx)^2=(tanx)^2+1)
=∫(secx)^2dx-∫dx
=tanx-x+ C (∫(secx)^2dx = tanx )