Question

设函数f(X)=a^x﹣ka^-x(a＞0且a≠1)是定义域为R上的奇函数。

（1）求k的值
（2）若f(1)＞0，试求不等式f(x^2＋3x)＋f(x﹣5)＞0的解集
（3）若f(1)等于3/2,且g(x)=a^2x+a^-2x-2mf(x)在[1,+∞）上的最小值为-2,求m的值

Answer 1

（1）因f(x)为R上奇函数
则f(0)=0，即a^0-ka^(-0)=0
解得k=1

（2）易知f(x)=a^x-a^(-x)（a＞0且a≠1）
则f(1)=a-1/a=(a^2-1)/a
因f(1)>0
即有(a^2-1)/a>0
解得a>1（注意到a＞0）

令x1<x2
则f(x2)-f(x1)
=(a^x2-a^x1)-[a^(-x2)a^(-x1)]
=(a^x2-a^x1)(1+1/a^x2a^x1)
因a>1，则a^x2-a^x1>0（函数y=a^x为增函数）
而a^x2>0，a^x1>0
所以f(x2)-f(x1)>0
表明f(x)为增函数

因f(x)为奇函数
则f(x-5)=-f(5-x)
即有f(x^2+3x)＞f(5-x)
又f(x)为增函数
则x^2+3x＞5-x
解得-5<x<1

（3）因a^(2x)+a^(-2x)=[a^x-a^(-x)]^2+2
则g(x)=a^(2x)+a^(-2x)-2mf(x)
=[a^x-a^(-x)]^2+2-2mf(x)
=f^2(x)-2mf(x)+2
=[f(x)-m]^2+(2-m^2)
因f(x)为增函数
则当x≥1时f(x)≥f(1)=3/2

若m<3/2
则当f(x)=3/2时，g(x)取得最小
即g(x)min=(3/2)^2-2m*(3/2)+2=-2
解得m=25/12。显然矛盾
若m≥3/2
则当f(x)=m时，g(x)取得最小
即g(x)min=2-m^2=-2
解得m=2

综上满足条件的m=2