Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC，与DE交于点P，

求证：P点是线段DE的中点。

Answer 1

辅助线如图。

先证三角形OCF全等三角形AGF，得OF=GF

再根据三角形AEP相似三角形AOF得EP/OF=AP/AF

同样的三角形APD相似三角形AFG得PD/FG=AP/AF

所以EP/OF=PD/FG,又OF=FG,所以EP=PD.

所以P为ED的中点。

Answer 2

连接BD。
AD与OC平行，故三角形ADE和三角形OCB相似，所以AE/OB=DE/BC，即AE*BC=DE*OB。

三角形AEP相似于三角形ABC，所以AE/AB=EP/BC，即AE*BC=AB*EP.
所以DE*OB=AB*EP
AB=2OB，所以DE=2EP。
所以P为线段DE的中点。

Answer 3

解：DP=PE．证明如下：
∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC．
∴DE∥BC，
∴Rt△AEP∽Rt△ABC，得

EP
BC
=

AE
AB
．①

又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，
∴Rt△AED∽Rt△OBC．
∴

ED
BC
=

AE
OB
=

AE
12AB
=

2AE
AB
②

由①，②得ED=2EP．
∴DP=PE．