Question

设矩阵Am*n的秩R(A)=m<n ，B为n阶方阵，R(B)=n, 则R(AB)=m？

求解

Answer 1

正确
因为 B 可逆
所以 RA(B)=R(A)=m.

知识点: 若P,Q可逆, 则 R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)

Answer 2

因为有个公式是R(AB)<=min{R(A),R(B)},所以R(AB)=m是正确的！

Answer 3

证明：
做方程组BTAT X = 0 ; AT X = 0，那么，因为r（B) = r（BT) = n， 故，BT ATX = 0必然满足AT X = 0;，又因为 AT X = 0 的解满足BT AT X =0；所以这两个方程组同解。
所以r（BTAT) = r（AT) = m