Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n(n属于N*) (1)求数列an的通项公式

(2)设bn=log2(an+1)且对任意的n属N*都有b2/b1*b3/b2*b4/b3*...*bn+1/bn≥K√n成立，求K的最大值

Answer 1

∵Sn=2an-n
∴S1=a1=2a1-1
∴a1=1
S（n+1)=2a(n+1)-(n+1)
∴a(n+1)=S(n+1)-Sn=2a(n+1)-(n+1)-2an+n
∴a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2(an+1)
∴[a(n+1)+1]/(an+1)=2
∴{an+1}是等比数列，公比为2
∴an+1=(a1+1)*2^(n-1)=2^n
∴an=2^n-1
(2)
bn=log₂(an+1)=log₂2^n=n

设Tn=b2/b1*b3/b2*b4/b3*...*bn+1/bn
=b(n+1)/b1=n+1
n+1≥k√n
k≤√n+1/√n
∵√n+1/√n≥2
∴k≤2
第2问好像有问题吧

Answer 2

解：
(1)
n=1时，a1=S1=2a1-1
a1=1
n≥2时，Sn=2an-n S(n-1)=2a(n-1)-(n-1)
Sn-S(n-1)=an=2an-n-[2a(n-1)-(n-1)]=2an-2a(n-1)-1
an=2a(n-1)+1
an +1=2a(n-1)+2=2[a(n-1)+1]
(an +1))/[a(n-1)+1]=2，为定值。
a1 +1=1+1=2
数列{an +1}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an +1=2×2^(n-1)=2ⁿ
an=2ⁿ-1
n=1时，a1=2-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1。
(2)
bn=log2(an +1)=log2(2ⁿ-1+1)=log2(2ⁿ)=n
(b2/b1)×(b3/b2)×...×[b(n+1)/bn]
=[b2×b3×...×bn×b(n+1)]/(b1×b2×...×bn)
=b(n+1)/b1
=(n+1)/1
=n+1
n+1≥k√n
n-k√n +1≥0
要不等式成立，关于√n的一元二次方程(√n)²-k√n+1=0判别式△≤0
(-k)²-4≤0
k²≤4
-2≤k≤2
k的最大值是2。

Answer 3

1)Sn=2an-n
S(n+1)=2a(n+1)-(n+1)
2式相减得a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2(an+1)
设Tn=an+1 T(n+1)=2Tn
则T1=S1+1=2a1-1+1=a1+1
T1=2 Tn=2^n an=2^n-1
2)y=b2/b1*b3/b2*b4/b3*...*bn+1/bn=b(n+1)/b1
bn=n
y=n+1≥K√n
Kmax=2