Question

定义【a,b,c】为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1– m,–1–m]的函数的一些结论

定义【a,b,c】为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1– m,–1–m]的函数的一些结论：①当m＞0，函数图象截x轴所得的线段长度大于三分之二。②当m＜0，函数在x＞0时，y随x的增大而减小。结论是否正确？？

Answer 1

1) m>0时，y=2mx^2+(1-m)x-1-m=(2mx+m+1)(x-1)
零点为x=1, -(m+1)/(2m)
在x轴截得的长度为零点的差，即1+(m+1)/(2m)=1+1/2+1/(2m)=3/2+1/(2m)>3/2
所以正确。

2）对称轴为x=(m-1)/(4m)=1/4-1/(4m)>1/4
因m<0, 开口向下，在对称轴右边y随x的增大而减小
在对称轴左边，比如(0,1/4)区间，y随x的增大而增大
所以不正确

Answer 2

a=2m b=1-m c=-1-m代入
y=2mx²+(1-m)x-1-m=2mx²-(m-1)x-(m+1)
方程2mx²-(m-1)x-(m+1)=0判别式
[-(m-1)]²+8(m+1)
=m²+6m+9
=(m+3)²
m>0时，(m+3)²>0，方程有两不等实根，函数图像与x轴恒有两交点。
设两根分别为x1，x2，由韦达定理得
x1+x2=(m-1)/(2m)
x1x2=-(m+1)/(2m)
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=[(m-1)/(2m)]²+4(m+1)/(2m)
=(9m²+6m+1)/(4m²)
=[(3m+1)/2m]²
|x1-x2|=|(3m+1)/2m|
m>0 |x1-x2|=(3m+1)/(2m)=(3/2) +1/(2m)
1/(2m)>0 (3/2)+1/(2m)>3/2>2/3 感觉题目有点问题，当然也不错，不过原题是不是2分之3啊。
结论①正确。

对称轴x=(m-1)/(4m)=(1/4) -1/(4m)
m<0时，(1/4)-1/(4m)>1/4，即对称轴在x=1/4右侧，而不是x=0，因此结论②错误。