Question

不等式难题

设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时，求不等式f(x)大于或等于3x+2的解集，(2)若不等式f(x)小于或等于0的解集为{x|x小于或等于-1},求a的值。要详细解答

Answer 1

1. 由题意，f(x) = |x-1|+3x ≥ 3x+2

　　∴|x-1| ≥ 2

　　∴x-1 ≤ -2 或 x-1 ≥ 2 即 x ≤ -1 或 x ≥ 3

　　∴ x ∈ (-∞,-1]∪[-3,+∞)

 2.   由题意，f(x) = |x-a|+3x≤ 0 <=> a>0，x ≤ -1

　　∵a>0，x ≤ -1

　　∴|x-a| = a-x

　　∴a-x+3x ≤ 0 即a ≤ -2x

       ∴a ≤ -2x <=>  a>0，x ≤ -1

       ∴a = -2x <=> x=-1

       ∴a = 2

【“<=>”这货是等价符号。。。另外楼上那位估计没看到a>0这个条件导致多出来一个解】

Answer 2

(1)
　　当a=1时，f(x)=|x-1|+3x
　　|x-1|+3x >= 3x+2
　　=> |x-1| >= 2
　　=> x-1 >= 2 或 x-1 <=-2
=> x >= 3 或 x <= -1
所以解集为{x|x >= 3 或 x <= -1}
(2)
|x-a|+3x <= 0
当x>=a时：
x-a+3x <= 0
x <= a/4
当x<a时：
a-x+3x <= 0
x <= -a/2
因为解集为{x| x <= -1}，所以a可能为-4或2，
将-4和2分别代入原式，最后解集都为{x| x <= -1}
所以a=-4或a=2