Question

知函数f(x)=log2(x+1),并且当点(x,y)在f(x)的图像上运动时,点(x/3,y/2)在函数y=g(x)(x>-1/3）的图像上运动

(1) 求函数y=g(x)的解析式
(2)求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点
(3)函数F(x)在x属于（0,1）上是否有最大值、最小值 若没有说明理由

Answer 1

(1) y=log₂(x+1)
y/2=(1/2)log₂(3x/3 +1)
从而 g(x)=(1/2)log₂(3x+1)
(2)令F(x)=log₂(x+1)-(1/2)log₂(3x+1)＝0,
得 log₂(x+1)²=log₂(3x+1)，所以(x+1)²=3x+1
解得 x=0或x=1
(3)F'(x)=1/[(x+1)ln2] -3/[2(3x+1)ln2]
令F'(x)>0，整理得 (3x-1)/[(x+1)(3x+1)]>0
因为 x∈（0，1）,从而 3x-1>0，x/1/3，
即F(x)在(1/3,1）是增函数，同理，在(0,1/3)上是减函数，
所以最小值为F(1/3)=3/2 -log₂3，无最大值。