Question

在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q。求证：AB+BP=BQ+AQ

Answer 1

根据我们宿舍七千万的哲♂学说教，证明如下- -
首先∠qbc=∠c=40°，所以bq=qc 所以bq+aq=ac 也就是证明ab+bp=ac
然后根据正弦定理，ab/sin∠bpa=bp/∠bap 易知∠bpa=70 ∠bap=30
所以用ab表示bp，bp=ab*sin30/sin70
同理ac=absin80/sin40，用的是abc三角形的正弦定理
所以要证ab+ab*sin30/sin70=absin80/sin40
ab+ab*sin30/sin70=ab[sin(50+20)+sin(50-20)]/sin70=2ab*sin50*cos20/sin70=2ab*sin50
absin80/sin40=2abcos40sin40/sin40=2ab*cos40
cos40=sin50
所以ab+bp=ac=bq+aq 得证！

Answer 2

证明：
做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。
（首先算清各角的度数）
∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°
且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70°
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP(角边角）
∴AB=AM，BP=MP
在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40°
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40°
∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP

Answer 3

前面有朋友回复得详细呵

Answer 4

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