Question

已知函数f(X)=1/3x^3+ax^2-bx+1(ab属于R)在区间【-1,3】上是减函数，则a+b的最小值是

Answer 1

f(X)=1/3x^3+ax^2-bx+1

f'(x)=x²+2ax-b

∵f(x)在区间[-1,3]上是减函数

  x∈[-1,3]，f'(x)≤0恒成立，

∵f'(x)图像开口朝上

∴只需f'(-1)≤0且f'(3)≤0即可

∴-2a-b+1≤0且6a-b+9≤0

即{2a+b-1≥0

    {6a-b+9≤0

表示的区域为直线2a+b-1=0和6a-b+9=0

上方的公共区域

目标函数z=a+b,最优解为(-1,3)

z=a+b的最小值为2

Answer 2

f'(x)=x*x+2ax-b
在区间[-1,3]上是减函数.所以f'(-1)<0,f('3)<0
得到 1-2a-b<0 9+6a-b<0 画出两个一次函数图像
令t=a+b得 b=-a+t
t>=-1+3=2（-1,3是两直线交点）
所以a+b最小值是2