Question

设函数f(x)=m-根号下x+3,.若存在实数a,b(a<b),使f(x)在(a,b)上的值域为(a,b),则实

数m的取值范围是？答案是（-9/4,-2]

Answer 1

其实根据函数性质，这是一个减函数。故m-√(a+3)=b, m-√(b+3)=a.
化简2个方程即是 √(a+3)-√(b+3)=a-b 即， √(a+3)+√(b+3)=1 且 2m=a+b+1
设p=√(a+3)，q=√(b+3)， 则
p+q=1, a=p^2-3, b=q^2-3, p,q 均大于等于0且小于等于1. 所以 m= p^2-p-2
因为p大于等于0且小于等于1， m的范围是（-9/4,-2]

追问

√(a+3)+√(b+3)=1怎么得的

追答

√(a+3)-√(b+3)=a-b两边同时乘以（√(a+3)+√(b+3)）

（√(a+3)+√(b+3)）（√(a+3)-√(b+3)）=（a-b）（√(a+3)+√(b+3)）

a＋3－b－3＝（a-b）（√(a+3)+√(b+3)）
√(a+3)+√(b+3)=1

追问

m= p^2-p-2，q又到哪里去了
麻烦你了，有加分

追答

因为2m=a+b+1，a=p^2-3, b=q^2-3,

即2m＝p^2-3＋q^2-3＋1＝p^2＋q^2-5
因为p+q=1
2m＝p^2＋（1－p）^2-5＝2p^2－2p－4
即m= p^2-p-2

Answer 2

显然f(x)为减函数，
∴f(a)=m-√(a+3)=b,
f(b)=m-√(b+3)=a,
a+3=m^2-2bm+b^2……①
b+3=m^2-2am+a^2,……②
②-①得：b-a=2(b-a)m，
∴m=1/2。