已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x^2(1)求证f(x)为周期... 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x^2
(1)求证f(x)为周期函数
(2)求证f(x)为偶函数
(3)f(x)的解析式
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hong7204
2012-12-31 · TA获得超过9955个赞
知道大有可为答主
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(1)因为f(x+1)=-f(x)
所以f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x)
所以f(x)是以2为周期的周期函数

(2)因为f(x)=f(x+2)
所以把里面的x代为-x,得f(-x)=f(-x+2)=f(2-x)=f[1-(x-1)]
因为f(1-x)=f(1+x)
所以f(-x)=f[1-(x-1)]=f[1+(x-1)]=f(x)
所以f(x)为偶函数

(3)f(x)的解析式是f(x)=2(x-2k)-(x-2k)^2,x∈[2k,2+2k),k∈Z
很少题目有问这样的问题的
更多追问追答
追问
请问第一问你怎么就能一下子知道代x+2呢
追答
经验
形如f(x+a)=-f(x)的函数,就是以2a为周期
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