Question

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,2）时，f（x）=2x-x^2
（1）求证f（x）为周期函数
（2）求证f（x）为偶函数
（3）f（x）的解析式

Answer 1

（1）因为f(x+1)=-f(x)
所以f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x)
所以f（x）是以2为周期的周期函数

（2）因为f(x)=f(x+2)
所以把里面的x代为-x，得f(-x)=f(-x+2)=f(2-x)=f[1-(x-1)]
因为f(1-x)=f(1+x)
所以f(-x)=f[1-(x-1)]=f[1+(x-1)]=f(x)
所以掘羡如派纤f（x）为偶函数

（3）f（x）的解析式是f（x）=2（x-2k）-（x-2k）^2，x∈[2k，2+2k），k∈Z
很少题目判启有问这样的问题的

追问

请问第一问你怎么就能一下子知道代x+2呢

追答

经验
形如f(x+a)=-f(x)的函数，就是以2a为周期

追问

第3问什么意思

追答

我说的就是答案，我也不知道为什么这么问，都说了这样的题目很少这样问的