Question

求一道大学高等数学题，求助，真心不会做

每道题求详细解答，谢谢

Answer 1

以下极限符号就省略啦．．你懂的
以下过程很多都可以省略..只是为了你看清步骤
第一题
令1/x=t 那么t→0
原式
=(1/t)^2 - (sint)/(t^3)
=(t-sint)/(t^3)
是0/0型
洛比达法则得
原式=(1-cost)/(3t^2)
再;来一次.
=sint / (6t)
再来一次
=cost/6=1/6

第二题
tanx 和x等价无穷小///ln(1+2x)和2x等价无穷小
所以原式
=(e^x -e^sinx)/(2x^3)
洛比达
=(e^x-cosx *e^(sinx))/(6x^2)
=(e^x-e^(sinx))/(6x^2) (因为limx→0 cosx=1
同上
=(e^x-cosx *e^(sinx))/(12x)
=(e^x-e^(sinx))/(12x)
再来一次
就剩下( e^x-cosx e^sinx) /12 =(e^x-e^x)/12 =0

第三题
limx→正无穷 cos(1/t)=1
limx→正无穷 sin(1/t)=1/t (因为1/t无限接近0)
所以原式等于(1+1/t)^t =e (公式丫,自己看啦)

第四题
令x+1 =t 那么t→无穷
原式
=((2t+1)/( 2t-1))^t
=((1+ 2 /(2t-1) )^t
再换一下
令2t-1 =2r 那么r→无穷
原式
=(1+1/r)^(r+1/2)
=(1+(1/r))^r *(1+(1/r))^(1/2)
=(1+(1/r))^r
=e
事实不用换那么多次,只是为了你看清步骤而已...

第五题
令原式=t
两边取自然对数得
nln(tan(∏/4)+2/n)=lnt
则nln(tan(∏/4)+2/n)=(ln(tan((∏/4)+2/n))/(1/n)
洛比达(下面那东西,你亲笔算下..tanx的导数是sec^2 (x) secx=1/cosx
原式等于sec^2((∏/4+2/n))*(-2n^2)))/ (/tan((∏/4)+2/n))* (-1/n)
=2sec^2 ((∏/4+2/n) /( tan((∏/4)+2/n)
=2/ (cos(∏/4+2/n) *sin(((∏/4+2/n))
=4/ sin(∏/2 +4/n)
=4/cos(4/n)
=4
所以t=e^4 就是答案

第六题
令t=x^2 那么t→0
所以原式
=(1-cost)/(tsint)
=(1-cost)/(t^2) 因为sint 和t等价无穷小
洛比达
=sint / 2t
=1/2 (这是公式)

第七题
公式:1-cosx 和(x^2) /2等价无穷小
因为lim x→0 2(1-cosx)/(x^2) =sinx /x =1 所以
1-cosx 和(x^2) /2等价无穷小
所以原式
=2(1 -根号cosx) /(x^2)
洛比达
=(sinx/x) * (1/(2根号cosx))
=1/(2根号cosx))
=1/2
解完