Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是边AB上的一个动点，联结CP，过点B作BD⊥CP,垂足为点D.

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P是边AB上的一个动点，联结CP，过点B作BD⊥CP,垂足为点D.
（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证:△BCD∽△ABC.
（2）如图2，若BC=2厘米，cotA=2, 点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是根号5厘米/秒.设点P运动的时间为t秒, △BCD的面积为S平方厘米，求出S关于t的函数解析式，并写出它的定义域.
（3）在第(2)小题的条件下,如果△PBC是以CP为腰的等腰三角形,求△BCD的面积.

Answer 1

（1）

重心为三条中线交点，CP经过△ABC的重心，说明CP为AB边上中线，即AP=BP.

∴在Rt△ABC中，AP=BP=CP

∴∠BCD=∠ABC

又∵∠BDC=∠ABC=90°

∴△BCD∽△ABC

（2）

过P作PH⊥AC于H

AP=√5t, cotA=2,易得

PH=t, AH=2t，CH=4-2t

易证△BCD∽△CPH

∴BD/DC=CH/HP=(4-2t)/t

又∵BD²+DC²=BC²=4

∴S=BD*DC/2=16t(2-t)/(5t²-16t+16)

(0<t<2)

(3)△PBC是以CP为腰的等腰三角形,有两种可能情况，

    (a) PC=PB

        过P作BC垂线，易证AP=BP=√5，t=1

        S=16/5

    (b)PC=BC

        易得PB=4√5/5, AP=6√5/5, t=6/5

        S=96/25

Answer 2

（1）当CP经过△ABC的重心时
CP是AB边上的中线
因为，∠ACB=90°
所以CP=BP=AP
所以∠PCB=∠PBC
因为BD⊥CP,垂足为点D
所以∠BDC=∠ACB=90°
所以:△BCD∽△ABC.
（2）若BC=2厘米，cotA=2,
则AC=4厘米，AB=2根号5厘米
过点D作DE⊥AC,垂足为点E
设点P的速度是1厘米/秒点P运动的时间为t秒
此时AD=t厘米，AE=2t/根号5,DE=t/根号5,,CE=4-2t/根号5,CD^2=(t/根号5)^2+(4-2t/根号5)^2
可得:△BCD∽△CDE
△BCD的面积:△CDE面积=（BC/CD)^2
即s=（BC/CD)^2*△CDE面积
而△CDE的面积是1/2*CE*DE=1/2*(4-2t/根号5,)*(t/根号5)
所以s=1/2*(4-2t/根号5,)*(t/根号5)*{4/[(t/根号5)^2+(4-2t/根号5)^2]}
即s=(-4t^2+8根号5t)/(5t^2-16根号5t+80),定义域是（0<=t<=2根号5)
，