Question

线性代数：如果一个n阶矩阵有n重特征根0,那么这个矩阵能相似对角化吗?

比如三阶矩阵A为
0 1 1
0 -1 -1
0 1 1
|λE-A|=λ^3
求解释~
还有，那矩阵A的秩又算是多少？

Answer 1

R（A）=1
所以A的属于特征值0的线性无关的特征向量的个数为 n-r(A)=3-1=2
矩阵可对角化的充分必要条件是：每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数 因为n-r(A)=3-1=2不等于3所以不可以对角化

追问

为什么秩是1呢？

追答

所有二阶子式对应行列式值为0例如1 1
-1 -1=0
而一阶子式不为0很明显

Answer 2

显然是不能相似对角化的.

反证.如果A能相似对角化,则存在可逆矩阵P,使得p^{-1}AP=对角阵(此对角阵必为0矩阵),所以得到A为0矩阵,矛盾.

最后,
三阶矩阵A为
0 1 1
0 -1 -1
0 1 1
矩阵A的秩是1.

追问

为什么秩是1呢？